कैलकुलस (Calculus), जिसे अक्सर गणितीय उपलब्धि का शिखर माना जाता है, एक ऐसा क्षेत्र है जिसने परिवर्तन, गति और संचय की हमारी समझ में क्रांति ला दी है। 17वीं सदी के अंत में सर आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित, कैलकुलस भौतिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और अन्य सहित विभिन्न वैज्ञानिक विषयों की नींव के रूप में कार्य करता है। इस लेख में, हम कैलकुलस की परिभाषा, मूल अवधारणाओं, अंतर और इंटीग्रल (Integral) और डिफरेंशियल (Differential) कैलकुलस सूत्रों की खोज करेंगे, और इस गणितीय चमत्कार के सार को समझने में आपकी मदद करने के लिए व्यावहारिक प्रश्न उदाहरण प्रदान करेंगे।
कैलकुलस क्या है, परिभाषा (What is Calculus, Definition)
कैलकुलस गणित की एक शाखा है जो परिवर्तन और गति के अध्ययन से संबंधित है। यह यह समझने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करता है कि मात्राएँ एक दूसरे के संबंध में कैसे बदलती हैं। इसके मूल में, कैलकुलस में दो प्राथमिक शाखाएँ होती हैं: डिफरेंशियल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस।
1. डिफरेंशियल कैलकुलस (Differential Calculus): परिवर्तन की दरों को समझना
डिफरेंशियल कैलकुलस उस दर को समझने पर केंद्रित है जिस पर मात्राएँ बदलती हैं। यह डेरिवेटिव से संबंधित है, जो किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर के माप हैं। डिफरेंशियल कैलकुलस में मौलिक अवधारणा व्युत्पन्न है।
व्युत्पन्न सूत्र (Derivative Formula)
x के संबंध में फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न को f'(x) या dy/dx के रूप में दर्शाया गया है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
\(\begin{align*}f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) – f(x)}{h}
\end{align*}\)
यह सूत्र किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।
उदाहरण: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
\(\begin{align*}f(x) = 3x^2 – 2x + 1
\end{align*}\)
हल:
\(\begin{align*}f'(x) &= \frac{d}{dx} (3x^2 – 2x + 1) \\
&= 6x – 2
\end{align*}\)
Differential Calculus Question step by step
फलन f(x) = 4x^3 – 2x^2 + 5x – 1 का अवकलज ज्ञात कीजिए
फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए \(\begin{align*}
f(x) = 4x^3 – 2x^2 + 5x – 1
\end{align*}\) आप विभेदन का घात नियम लागू कर सकते हैं।
अब, आइए खोजें \(\begin{align*} f'(x)\end{align*}\)
\(\begin{align*} f'(x) = \frac{d}{dx} (4x^3) – \frac{d}{dx} (2x^2) + \frac{d}{dx} (5x) – \frac{d}{dx} (1)\end{align*}\)
घात नियम का उपयोग करते हुए, पदों के व्युत्पन्न हैं:
\(\begin{align*}\frac{d}{dx} (4x^3) &= 12x^2 \\
\frac{d}{dx} (2x^2) &= 4x \\
\frac{d}{dx} (5x) &= 5
\end{align*}\)
चूँकि स्थिरांक (1) का अवकलज शून्य है, हमारे पास है:
\(\begin{align*} \frac{d}{dx} (1) = 0 \end{align*}\)अब, आइए इसे सब एक साथ रखें:
\(\begin{align*} f'(x) = 12x^2 – 4x + 5 – 0 \end{align*}\)तो, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न \(\begin{align*} f'(x) = 12x^2 – 4x + 5 \end{align*}\)
घात का नियम (Power Rule)
निश्चित रूप से! घात नियम कैलकुलस में एक मौलिक नियम है जो हमें किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की अनुमति देता है जो घात के रूप में होता है \(\begin{align*} x \end{align*}\)। दूसरे शब्दों में, इसका उपयोग कार्यों के व्युत्पन्न को खोजने के लिए किया जाता है \(\begin{align*} f(x) = x^n \end{align*}\) , जहाँ \(\begin{align*} n \end{align*}\) एक अचर घातांक है.
यहां घात के नियम की व्याख्या दी गई है:
यदि आपके पास कोई फ़ंक्शन है \(\begin{align*}f(x) = x^n\end{align*}\), जहां \(\begin{align*}n\end{align*}\)एक स्थिरांक है, एक निश्चित संख्या, पर निर्भर नहीं \(\begin{align*}f'(x)\end{align*}\)द्वारा दिया गया है:
\(\begin{align*} f'(x) = n \cdot x^{n-1}\end{align*}\)सरल शब्दों में, का व्युत्पन्न ज्ञात करते समय \(x^n\), इन चरणों का पालन करें:
1. घातांक \(n\) को गुणांक के रूप में नीचे लाएँ.
2. घातांक को 1 से कम करें।
उदाहरण के लिए, यदि आपके पास \(f(x) = x^3\) है, तो आप पावर नियम को निम्नानुसार लागू कर सकते हैं:
1. घातांक 3 को गुणांक के रूप में नीचे लाएँ: \(3 \cdot x\)।
2. घातांक को 1 से घटाएँ: \(3 \cdot x^{3-1} = 3x^2\).
तो, \(x^3\) का व्युत्पन्न \(3x^2\) है
2. इंटीग्रल कैलकुलस (Integral calculus): संचय को समझना
दूसरी ओर, इंटीग्रल कैलकुलस, एक अंतराल पर मात्राओं के संचय पर ध्यान केंद्रित करता है। यह अभिन्नों से संबंधित है, जो कुल संचित मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। इंटीग्रल कैलकुलस में मौलिक अवधारणा इंटीग्रल है।
अभिन्न सूत्र (Integral Formula)
x के संबंध में एक फ़ंक्शन f(x) का अभिन्न अंग ∫f(x) dx के रूप में दर्शाया गया है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
∫f(x) dx = F(x) + C
यहाँ, F(x) f(x) का प्रतिअवकलन है, और C एकीकरण का स्थिरांक है।
उदाहरण: ∫(2x + 3) dx की गणना करें।
हल:
\(\begin{align*}\int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C
\end{align*}\)
इंटीग्रल कैलकुलस प्रश्न: ∫(3x^2 + 2x + 4) dx की गणना करें
इंटीग्रल कैलकुलस प्रश्न: \(\int (3x^2 + 2x + 4) \, dx\) की गणना करें।
इस समाकलन को हल करने के लिए, हम एकीकरण के घात नियम का उपयोग करेंगे, जो हमें प्रत्येक पद का प्रतिअवकलन अलग से खोजने की अनुमति देता है।
\(\int (3x^2 + 2x + 4) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int 4 \, dx\)
अब, हम प्रत्येक पद का प्रतिअवकलन ज्ञात करेंगे:
\(\int 3x^2 \, dx = \frac{3}{3}x^{3} + C_1 = x^{3} + C_1\)
\(\int 2x \, dx = \frac{2}{2}x^{2} + C_2 = x^{2} + C_2\)
\(\int 4 \, dx = 4x + C_3\)
यहां, \(C_1\), \(C_2\), और \(C_3\) एकीकरण के स्थिरांक हैं।
यह सब एक साथ रखने पर, हमें अंतिम परिणाम मिलता है:
\(\int (3x^2 + 2x + 4) \, dx = x^{3} + x^{2} + 4x + C\)
जहां \(C\) एकीकरण का स्थिरांक है, जो एक arbitrary constant स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है जो कोई भी मान ले सकता है।
प्रतिअवकलन स्पष्टीकरण (antiderivative explanation)
अब, हम प्रत्येक पद का प्रतिअवकलन ज्ञात करेंगे:
1. **\(3x^2\) का प्रतिअवकलन**:
\(3x^2\) का प्रतिअवकलन ज्ञात करने के लिए, हम एकीकरण के घात नियम को लागू करते हैं, जो अनिवार्य रूप से विभेदन के लिए घात नियम के विपरीत है। \(x^n\) जैसे पद के लिए प्रतिअवकलन \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\) है। इस मामले में, \(n = 2\), इसलिए:
\[
\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{1}{2+1}x^{2+1} + C_1 = x^3 + C_1
\]
यहां, \(C_1\) एकीकरण के स्थिरांक को दर्शाता है।
2. **\(2x\) का प्रतिअवकलन**:
\(2x\) के लिए, जो एक रैखिक पद है, प्रतिअवकलन वैसा ही है जैसा आप घात नियम से अपेक्षा करते हैं। \(x^n\) के लिए, प्रतिअवकलन \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\) है, और जब \(n = 1\):
\[
\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{1}{1+1}x^{1+1} + C_2 = x^2 + C_2
\]
एक बार फिर, \(C_2\) एकीकरण के एक और स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है, जो \(C_1\) से भिन्न हो सकता है।
3. **\(4\) का प्रतिअवकलन**:
\(4\) जैसे किसी स्थिरांक का प्रतिअवकलन बस इतना है कि स्थिरांक समय \(x\) (एकीकरण का चर):
\[
\int 4 \, dx = 4x + C_3
\]
\(C_3\) एक बार फिर एकीकरण का स्थिरांक है।
प्रत्येक पद का अलग-अलग प्रतिअवकलन ढूंढ़कर और उन्हें जोड़कर, आप संपूर्ण अभिव्यक्ति का प्रतिअवकलन निर्धारित कर सकते हैं:
\[
\int (3x^2 + 2x + 4) \, dx = (x^3 + C_1) + (x^2 + C_2) + (4x + C_3)
\]
और, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, \(C_1\), \(C_2\), और \(C_3\) एकीकरण के स्थिरांक हैं, जो दिए गए अभिव्यक्ति के कई संभावित एंटीडेरिवेटिव के लिए मनमाने स्थिरांक को शामिल करने की अनुमति देते हैं।
कैलकुलस (Calculus) महत्वपूर्ण सूत्र
डिफरेंशियल सूत्र
\begin{align*}
1. &\quad \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{(n-1)} \\
2. &\quad \frac{d}{dx} (fg) = f’g + fg’ \\
3. &\quad \frac{d}{dx} \left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f’g – fg’}{g^2} \\
4. &\quad \frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \\
5. &\quad \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x) \\
6. &\quad \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x) \\
7. &\quad \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x) \\
8. &\quad \frac{d}{dx} (\cot(x)) = -\csc^2(x) \\
9. &\quad \frac{d}{dx} (\sec(x)) = \sec(x) \cdot \tan(x) \\
10. &\quad \frac{d}{dx} (\csc(x)) = -\csc(x) \cdot \cot(x) \\
11. &\quad \frac{d}{dx} (e^x) = e^x \\
12. &\quad \frac{d}{dx} (a^x) = \ln(a) \cdot a^x \\
13. &\quad \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x} \\
14. &\quad \frac{d}{dx} (\arcsin(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \\
15. &\quad \frac{d}{dx} (\arctan(x)) = \frac{1}{1 + x^2}
\end{align*}
Integral Formula
\begin{equation}
\begin{aligned}
&1. \quad \int 1 \, dx = x + C \\
&2. \quad \int a \, dx = ax + C \\
&3. \quad \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \text{ where } n \neq -1 \\
&4. \quad \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \\
&5. \quad \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \\
&6. \quad \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C \\
&7. \quad \int \csc^2(x) \, dx = -\cot(x) + C \\
&8. \quad \int \sec(x) \cdot \tan(x) \, dx = \sec(x) + C \\
&9. \quad \int \csc(x) \cdot \cot(x) \, dx = -\csc(x) + C \\
&10. \quad \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C, \text{ where } x \neq 0 \\
&11. \quad \int e^x \, dx = e^x + C \\
&12. \quad \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \text{ where } a > 0 \text{ and } a \neq 1 \\
&13. \quad \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C \\
&14. \quad \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C \\
&15. \quad \int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 – 1}} \, dx = \text{arcosh}(|x|) + C, \text{ where } |x| > 1 \\
&16. \quad \int \sin^n(x) \, dx = -\frac{1}{n}\sin^{n-1}(x)\cos(x) + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}(x) \, dx, \text{ where } n \neq 1 \\
&17. \quad \int \cos^n(x) \, dx = \frac{1}{n}\cos^{n-1}(x)\sin(x) + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x) \, dx, \text{ where } n \neq 1 \\
&18. \quad \int \tan^n(x) \, dx = \frac{1}{n-1}\tan^{n-1}(x) – \int \tan^{n-2}(x) \, dx, \text{ where } n \neq 1 \\
\end{aligned}
\end{equation}
L’Hôpital’s Rule
Given a limit of the form:
\[
\lim_{{x \to a}} \frac{f(x)}{g(x)}
\]
If both \(f(a)\) and \(g(a)\) are either 0 or \(\pm \infty\) and \(\lim_{{x \to a}} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) exists, then:
\[
\lim_{{x \to a}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to a}} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
In this formula:
– \(f(x)\) and \(g(x)\) are functions of \(x\).
– \(f'(x)\) and \(g'(x)\) represent the derivatives of these functions with respect to \(x\).
average rate of change
The formula for the average rate of change of a function \(f(x)\) over an interval \([a, b]\) is given by:
\[
\text{Average Rate of Change} = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}
\]
In this formula:
– \(f(b)\) represents the value of the function at the endpoint \(b\).
– \(f(a)\) represents the value of the function at the starting point \(a\).
– \(b\) and \(a\) are the endpoints of the interval over which you’re calculating the average rate of change.
mean value & Rolles Theorem
Mean Value Theorem (MVT) Formula:
The Mean Value Theorem states that if a function \(f(x)\) is continuous on the closed interval \([a, b]\) and differentiable on the open interval \((a, b)\), then there exists at least one value \(c\) in the open interval \((a, b)\) such that:
\[f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}\]
Rolle’s Theorem Formula:
Rolle’s Theorem is a special case of the Mean Value Theorem. It states that if a function \(f(x)\) is continuous on the closed interval \([a, b]\), differentiable on the open interval \((a, b)\), and \(f(a) = f(b)\), then there exists at least one value \(c\) in the open interval \((a, b)\) such that:
\[f'(c) = 0\]
differentiation chain, product and quotient rules
Chain Rule Formula:
The Chain Rule is used to find the derivative of a composite function. If \(u\) is a differentiable function of \(x\), and \(y\) is a differentiable function of \(u\), then the derivative of the composite function \(y = f(g(x))\) is given by:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\]
Product Rule Formula:
The Product Rule is used to find the derivative of the product of two functions \(u(x)\) and \(v(x)\). If \(u(x)\) and \(v(x)\) are differentiable functions of \(x\), then the derivative of the product \(w(x) = u(x) \cdot v(x)\) is given by:
\[
\frac{dw}{dx} = u \cdot \frac{dv}{dx} + \frac{du}{dx} \cdot v
\]
Quotient Rule Formula:
The Quotient Rule is used to find the derivative of the quotient of two functions \(u(x)\) and \(v(x)\). If \(u(x)\) and \(v(x)\) are differentiable functions of \(x\) and \(v(x) \neq 0\), then the derivative of the quotient \(w(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) is given by:
\[
\frac{dw}{dx} = \frac{u’v – uv’}{v^2}
\]
logistics curves
The formula for a logistic curve, often used to model population growth, the spread of diseases, or the adoption of new technologies, is given by:
\[ P(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K – P_0}{P_0} \cdot e^{-rt}\right)} \]
In this formula:
– \( P(t) \) represents the population (or quantity, adoption, etc.) at time \( t \).
– \( P_0 \) represents the initial population (or quantity) at time \( t = 0 \).
– \( K \) represents the carrying capacity or the maximum population (or quantity) that the environment can support.
– \( r \) represents the growth rate or decay rate.
– \( e \) is the base of the natural logarithm.
properties of log and Ln
Properties of Natural Logarithm (ln or loge):
Logarithm of a Product:
\(\begin{align*}\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\end{align*}\)Logarithm of a Quotient:
\(\begin{align*}\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b)\end{align*}\)Logarithm of a Power:
\(\begin{align*}\ln(a^n) = n\ln(a)\end{align*}\)Change of Base Formula:
\(\begin{align*}\log_b(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}\end{align*}\)Properties of Common Logarithm (log):
Logarithm of a Product:
\(\begin{align*}\log(ab) = \log(a) + \log(b)\end{align*}\)Logarithm of a Quotient:
\(\begin{align*}\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) – \log(b)\end{align*}\)Logarithm of a Power:
\(\begin{align*}\log(a^n) = n\log(a)\end{align*}\)Properties of log ln
\begin{equation}
\begin{aligned}
&1. \quad \ln(1) = 0 \\
&2. \quad \ln(e^a) = a \\
&3. \quad e^{\ln(x)} = x \\
&4. \quad \ln(x^n) = n\ln(x) \\
&5. \quad \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \\
&6. \quad \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b)
\end{aligned}
\end{equation}
curve sketching and analysis formula
\begin{align*}
&1. \text{ First Derivative Test:} \\
&\quad \text{Critical points: } f'(x) = 0 \text{ or } f'(x) \text{ is undefined.} \\
&\quad \text{Increasing on an interval: } f'(x) > 0. \\
&\quad \text{Decreasing on an interval: } f'(x) < 0. \\
\\
&2. \text{ Second Derivative Test:} \\
&\quad \text{Concave up on an interval: } f''(x) > 0. \\
&\quad \text{Concave down on an interval: } f”(x) < 0. \\
&\quad \text{Inflection points: Where } f''(x) = 0 \text{ or changes sign.} \\
\\
&3. \text{ End Behavior:} \\
&\quad \text{Horizontal asymptotes: } \lim_{x \to \infty} f(x) = L \text{ and } \lim_{x \to -\infty} f(x) = L. \\
\\
&4. \text{ Vertical Asymptotes:} \\
&\quad \text{Vertical asymptotes at } x = a: \lim_{x \to a^-} f(x) = \infty \text{ or } \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty. \\
\\
&5. \text{ Intercepts:} \\
&\quad x\text{-intercepts: Set } f(x) = 0 \text{ and solve for } x. \\
&\quad y\text{-intercept: Evaluate } f(0). \\
\\
&6. \text{ Critical Points:} \\
&\quad \text{Find } x\text{-values where } f'(x) = 0 \text{ or } f'(x) \text{ is undefined.} \\
&\quad \text{Test each critical point with the First Derivative Test to determine local maxima, minima, or neither.} \\
\\
&7. \text{ Inflection Points:} \\
&\quad \text{Find } x\text{-values where } f''(x) = 0 \text{ or changes sign.} \\
&\quad \text{Test each inflection point to determine concavity changes.} \\
\\
&8. \text{ Symmetry:} \\
&\quad \text{Even function: } f(-x) = f(x). \\
&\quad \text{Odd function: } f(-x) = -f(x). \\
&\quad \text{Half-turn symmetry: } f(x) = f(a - x). \\
\\
&9. \text{ Limits at Infinity:} \\
&\quad \text{Determine } \lim_{x \to \infty} f(x) \text{ and } \lim_{x \to -\infty} f(x). \\
\\
&10. \text{ Vertical Tangents:} \\
&\quad \text{Vertical tangent lines occur where } f'(x) \text{ is undefined.} \\
\\
&11. \text{ Holes:} \\
&\quad \text{Holes occur where both the numerator and denominator of a rational function have common factors that cancel out.} \\
\\
&12. \text{ Domain and Range:} \\
&\quad \text{Domain: The set of all } x\text{-values for which } f(x) \text{ is defined.} \\
&\quad \text{Range: The set of all } y\text{-values that } f(x) \text{ can take.} \\
\\
&13. \text{ Asymptotes:} \\
&\quad \text{Horizontal asymptotes: } \lim_{x \to \infty} f(x) = L \text{ and } \lim_{x \to -\infty} f(x) = L. \\
&\quad \text{Oblique (slant) asymptotes: Occur when the degree of the numerator is one more than the degree of the denominator.} \\
\\
&14. \text{ Vertical Asymptotes:} \\
&\quad \text{Vertical asymptotes at } x = a: \lim_{x \to a^-} f(x) = \infty \text{ or } \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty. \\
\end{align*}
the fundamental theorem of calculus formula
\(\int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) – f(a)\)
2nd fundamental theorem of calculus
\textbf{Second Fundamental Theorem of Calculus:} \\
The second fundamental theorem of calculus states that if \(f(x)\) is continuous on \([a, x]\), where \(a\) is a constant, then the derivative of the integral of \(f(x)\) from \(a\) to \(x\) with respect to \(x\) is equal to \(f(x)\):
\[
\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)
\]
\textbf{Chain Rule Formula:} \\
The chain rule is a fundamental concept in calculus that deals with the derivatives of composite functions. If you have a function \(f(u)\) of a variable \(u\), and \(u\) is itself a function of \(x\), denoted as \(u = g(x)\), then the derivative of the composite function \(f(g(x))\) with respect to \(x\) is calculated as follows:
\[
\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(u) \cdot \frac{d}{dx} [g(x)] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
Here, \(f'(u)\) represents the derivative of \(f(u)\) with respect to \(u\), and \(g'(x)\) represents the derivative of \(g(x)\) with respect to \(x\).
average value formula
The formula for calculating the average value of a function \(f(x)\) over the interval (a,b) is as follows:
\(\text{Average Value} = \frac{1}{b – a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx\)
This formula calculates the average value of the function \(f(x)\) on the interval (a,b) by taking the integral of \(f(x)\) over that interval and dividing by the length of the interval (b−a).
Euler’s method Formula
\(\textbf{Euler’s Method:}\) \\
Euler’s method is a numerical technique for approximating the solutions to ordinary differential equations. It involves iteratively updating the values of the independent variable \(x\) and the dependent variable \(y\) to approximate the solution \(y(x)\) at multiple points along the curve.
1. Update \(x\) (the independent variable):
\[
x_{i+1} = x_i + \Delta x
\]
\(x_{\text{new}} = x_{\text{old}} + \Delta h\)
Where:
– \(x_{i+1}\) is the new value of \(x\) after one iteration.
– \(x_i\) is the current value of \(x\) before the iteration.
– \(\Delta x\) is the step size, representing the change in \(x\).
2. Update \(y\) (the dependent variable):
\[
y_{i+1} = y_i + \Delta x \cdot f(x_i, y_i)
\]
\(y_{\text{new}} = y_{\text{old}} + \Delta h \cdot f(x_{\text{old}}, y_{\text{old}})\)
Where:
– \(y_{i+1}\) is the new value of \(y\) after one iteration.
– \(y_i\) is the current value of \(y\) before the iteration.
– \(x_i\) is the current value of \(x\) before the iteration.
– \(\Delta x\) is the step size.
– \(f(x_i, y_i)\) represents the value of the derivative \(y’\) at the current point \((x_i, y_i)\).
These formulas are used iteratively to approximate the solution \(y(x)\) at various points along the curve.